《黄帝内经》中的数学 - 黄帝内经

去年在美国堪萨斯洲，因为治病的关系认识了一位数学系的李教授。因为李教授是教应用数学的，所以我们谈到了数学与中医的关系。他说他的一位同学是研究古代数学的，包括《易经》、《周髀算经》等，据说已经取得了很多成果，在国际上也很有影响。我说在《黄帝内经》中也有很多数学方面的应用，并举例如：《灵枢.五十营》中的四则运算和《邪气藏府病形》中的统计观念等。最后他鼓励我抽时间把《黄帝内经》中的数学内容总结一下，写一篇综述发表出来。下面是近来总结的关于《内经》中的数学内容的综述。

《黄帝内经》是中医最古老的经典著作。其中所涉及的知识除医学外，还有天文、地理、文学、语音学、哲学、音乐学和养生学等。其中，数学亦占有一定的比例。《黄帝内经》关于数学的内容除简单的四则运算外，还涉及分数、比例、统计、乘方和排列组合等；还涉及在计算前测量人体组织器官的长度（包括直径、周长）、重量和容积；统计时间（包括年、月、日和时辰）呼吸次数、经络气血流行的次数等方法。为什么《黄帝内经》中有如此丰富的数学内容呢？原来在《黄帝内经》成书的期间，中国的数学已经初具规模了。

一般认为《黄帝内经》是春秋战国时代的作品，成书于汉代。其内容并非一时一人所作。与此同时期的数学著作是《周髀算经》。该书成书于两汉时期，也有些人认为孕于周而成书于西汉，个别学者认为是公元前一千年的作品。无论怎样，我们可以认为它是《黄帝内经》同时代的作品。《周髀算经》实际上并非是数学著作而是一本天文著作，它是一本围绕着天文进行计算的书。其中重要的数学题材是勾股定理、比例测量和分数四则运算。

真正可以称为数学专著的是成书于东汉中期的《九章算术》，它是第一部总结了中国古代数学知识的专书。其中所涉及的数学知识十分广泛，比当时西方的数学要先进许多。正是由于当时有丰富的数学知识才孕育了千古不朽的《黄帝内经》。

要进行数学计算，首先要有数的基本概念，还要将具体的事物进行数量化。而不同的事务在量化时要有不同的计量单位，其计算方法也不一样。

《黄帝内经》中使用的是十进制。如一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万等。《灵枢. 九针论》中说：“一以法天，二以法地，三以法人，四以法时，五以法音，六以法律，七以法星，八以法风，九以法野”。《素问. 阴阳离合论》说：“阴阳者，数之可十，推之可百，数之可千，推之可万”。

《黄帝内经》中一般使用寸、尺、丈等来表示长度。长度用十进制，一丈等于十尺，一尺等于十寸。如《灵枢. 脉度》说：“跷脉从足至目，七尺五寸”。长度在不同的情况下有不同的名称，如深、广、径（直径）、围长（周长）等。如《灵枢. 肠胃》说：“胃纡屈曲，伸之，长二尺六寸，大一尺五寸，径五寸”。

《黄帝内经》中的重量单位是斤和两。一斤等于十六两。如《灵枢. 寿夭刚柔》说：“干姜一斤，蜀椒一斤”；《灵枢. 肠胃》说：“舌重十两”。

《黄帝内经》中的容积单位是斗、升、合。容积用十进制。如《灵枢. 平人绝谷》说：“广肠…受谷九升三合八分合之一”。

《黄帝内经》中使用的计时法是刻壶滴漏法。在商朝末期已经将一天（24 小时）的滴数统一定为一百刻。如《灵枢. 卫气行》所：“是故一日一夜，水下百刻”。唯一不同的是《灵枢. 五十营》中的计时标准定为一天滴水两百刻，由此可以知道此文的年代要早于商朝末期。《黄帝内经》也使用十二时辰制。如《灵枢. 经别》说：“六律建阴阳诸经而合之十二月、十二辰”。十二时辰制在西周时就已经被使用。汉代命名为夜半、鸡鸣、平旦、日出、食时、隅中、日中、日昳、晡时、日入、黄昏、人定。又用十二地支来表示，以夜半二十三点至一点为子时，一至三点为丑时，三至五点为寅时，依次递推。

《黄帝内经》中一年有十二个月、三百六十五天。如《灵枢. 邪客》说：“岁有三百六十五日”。在《黄帝内经》运气学说中还使用了另一种年历。一年三百六十日，五日为一候，三候为一气，六气为一时，四时为一岁。

在研究星象中常使用角度的概念。如《灵枢. 五十营》说：“天周二十八宿，宿三十六分，人气行一周，千八分”。28*36=1008 。相当于将180 度分成一千零八份。

四则运算在《黄帝内经》中是比较常见的数学方法，其中还记载了大量的乘法口诀。如《灵枢. 脉度》说：“督脉、任脉各四尺五寸，二四八尺，二五一尺。凡都合一十六丈二尺”。

在《黄帝内经》中有几处记载了乘方的内容。如在《灵枢. 九针论》中说：“九而九之，九九八十一，以起黄钟数焉”。这是关于音律的计算方法。当时类似的计算还有三的四次方法。如《管子. 地员》说：“凡将起五音，凡首，先主一以三之，四开以合九九”。

现在我们常用的是百分比法。但是，在《黄帝内经》中使用的却是十分比法。如《素问. 五常政大论》中说：“大毒治病，十去其六；常毒治病，十去其七；小毒治病，十去其八；无毒治病，十去其九”。

在《黄帝内经》中还用十分比的方法统计医生的治愈率。如《灵枢. 邪气藏府病形》说：“上工十全九…中工十全七…下工十全六”。

在《黄帝内经》中有多次使用了排列组合。如二十五音在古琴上的排列中五音的名称就是排列组合；《灵枢. 五音五味》中的双音疗法也是按排列组合的方式产生的。在五运六气学说中更是大量的使用了排列组合方法。如年号的天干地支排列法和五音健运等。可以说五运六气学说就是一个巨型的与天文、地理和人类等密切相关的排列组合。

最近有人认为《黄帝内经》中的阴阳就是现代模糊数学的最初始的表达方式。如《素问. 阴阳离合论》说：“阴阳者，数之可十，推之可百，数之可千，推之可万”。